Materi Lengkap Deret Taylor dan Analisis Galat- Berikut adalah makalah lengkap mengenai Deret Taylor dan Analisis Galat sbb : BAB I P...
Materi Lengkap Deret Taylor dan Analisis Galat- Berikut adalah makalah lengkap mengenai Deret Taylor dan Analisis Galat sbb :
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Prasayarat yang diperlukan untuk mempelajari metode numerik adalah matematika. Matematika adalah ilmu dasar, maka dari itu kita diharapkan sudah memiliki pengetahuan mengenai konsep fungsi, geometri, konsep kalkulus seperti turunan dan integral, dan sebagainya.
Banyak teorema matematika yang dipakai disini. Dari sekian banyak teorema tersebut ada satu teorema yang menjadi kakas yang sangat penting dalam metode numerik, yaitu teorema deret taylor. Deret Taylor adalah kakas yang utama untuk menurunkan metode numerik. Dari latar belakang itulah mengapa kami mengambil judul makalah yaitu mengenai “Deret Taylor dan Analisis Galat”.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang kami ambil yaitu :
- Apa itu deret taylor?
- Bagaimana cara menganalisis galat?
- Apa saja sumber utama galat numerik?
- Apa itu orde Penghampiran?
- Apa itu bilangan titik kambang?
- Apa itu perambatan galat?
- Apa itu Kondisi buruk?
- Apa itu bilangan kondisi?
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Definisi Deret Taylor
Andaikan f dan semua turunannya, f’, f’’, f’’’, …., menerus di dalam selang [a, b]. Misalkan xâ‚’ ϵ [a, b], maka untuk nilai-nilai xâ‚’ dan x ϵ [a, b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret taylor:
Persamaan di atas merupakan penjumlahan dari suku-suku (term) yang disebut deret. Untuk memudahkan penulisan suku-suku selanjutnya kita menggunakan tanda ellipsis (…). Jika dimisalkan x – xâ‚’ = h, maka f(x) dapat juga ditulis sebagai
Contoh:
Hampiri fungsi f(x) = sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar xâ‚’ = 1.
Penyelesaian:
Kita harus menentukan turunan sin(x) terlebih dahulu sebagai berikut
f(x) = sin(x)
f’(x) = cos(x)
f’’(x) = -sin(x)
f’’’(x) = -cos(x)
f(4)(x) = sin(x),
dan seterusnya.
Maka,
Bila dimisalkan x – 1 = h, maka
= 0.8415 + 0.5403h + 0.4208h2 + 0.0901h3 + 0.0351h4 + …
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xâ‚’ = 0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku.
Deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dinamakan deret Taylor terpotong dan dinyatakan oleh:
Yang dalam hal ini,
, xâ‚’ < c < x
Disebut galat atau sisa (residu).
Dengan demikian deret Taylor yang dipotong sampai suku orde k-n dapat ditulis sebagai
f(x) = Pn(x) + Rn(x)
yang dalam hal ini,
Contoh:
Sin(x) jika dihampiri dengan deret Taylor orde 4 di sekitar xâ‚’ = 1 adalah:
Yang dalam hal ini,
, 1 < c < x
Deret Taylor terpotong di sekitar xâ‚’ = 0 disebut deret Maclaurin terpotong
Contoh:
Hitunglah hampiran nilai cos(0.2), sudut dinyatakan dalam radian, dengan deret Maclaurin sampai suku orde n = 6.
Penyelesaian:
Cos(0.2) 1 – 0.22/2 + 0.24/24 – 0.26/720 = 0.9800667
(sampai tujuh angka di belakang koma)
2.2 Analisis Galat
Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya.semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.
Misalkan â adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka selisih
ε = a – â
disebut galat. Sebagai contoh, jika â = 10.5 adalah nilai hampiran dari a = 10.45, maka galatnya adalah ε = -0.01. Jika tanda galat (positif atau negatif) tidak dipertimbangkan, maka galat mutlak didefinisikan sebagai
ǀεǀ =Ç€a – âǀ
Untuk mengatasi interpretasi nilai galat, maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Sehingga dinamakan galat relatif.
Galat relatif didefinisikan sebagai
Atau dalam persentase
Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga galat relatif sejati.
Dalam praktek kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu galat ε seringkali dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya dinamakan galat relatif hampiran.
Contoh:
Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran.
Penyelesaian:
Galat = 10/3 – 3.333 = 10/3 – 3333/1000 = 1/3000 = 0.000333…
Galat mutlak = Ç€0.000333…Ç€ = 0.000333…
Galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/1000 = 0.0001
Galat relatif hampiran = (1/3000)/3.333 = 1/9999
2.3 Sumber Utama Galat Numerik
Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam
perhitungan numerik:
- Galat pemotongan (truncation error)
- Galat pembulatan (round-off error)
Selain kedua galat ini, masih ada sumber galat lain, antara lain:
- Galat eksperimental
- Galat pemrograman
2.3.1 Galat Pemotongan
Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat
Penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Tipe galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yang digunakan untuk penghampiran sehingga kadang-kadang ia disebut juga galat metode. Misalnya, turunan pertama fungsi f di x, dihampiri dengan formula
Yang dalam hal ini h adalah lebar absis xi+1 dengan xi.
Untuk mencari nilai maksimum yang mungkin dari ǀ Rn ǀ dalam selang yang diberikan , yaitu:
Contoh:
Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar xâ‚’ = 1 untuk menghampiri ln(0.9) dan berikan taksiran untuk galat pemtongan maksimum yang dibuat.
Penyelesaian:
Tentukan turunan fungsi f(x) = ln(x) terlabih dahulu
f(x) = ln(x) f(1)=0
f’(x) = 1/x f’(1)=1
f’’(x) = -1/x2 f’’(1)=-1
f’’’(x) = 2/x3 f’’’(1)=2
f(4)(x) = -6/x4 f(4)(1)=-6
f(5)(x) = 24/x5 f(5)(c)=24/c5
Deret Taylornya adalah
ln(x) = (x-1) – (x-1)2/2 + (x-1)3/3 – (x-1)4/4 + R4(x)
dan
ln(0.9) = -0.1 – (-0.1)2/2 + (-0.1)3/3 – (-0.1)4/4 + R4(x) = -0.105358 + R4(x)
juga
Dan nilai Max |24/c5| di dalam selang 0.9 < c < 1 adalah pada c = 0.9 (dengan mendasari pada fakta bahwa pada suatu pecahan nilainya semakin membesar bilamana penyebut dibuat lebih kecil). Sehingga
Jadi ln(0.9) = -0.1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari 0.0000034.
Deret Taylor dapat digunakan unuk menghitung integral fungsi yang sulit diintegralkan secara analitik (bahkan adakalanya tidak dapat dihitung secara analitik).
Contoh: Hitunglah hampiran nilai secara numerik, yaitu fungsi dihampiri dengan deret Maclaurin orde 8.
Penyelesaian:
Deret Maclaurin orde 8 dalam fungsi adalah
Dengan demikian, maka
2.3.2 Galat Pembulatan
Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalam komputer, sehingga keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil yang menghasilkan galat disebut galat pembulatan. Misalnya sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka, maka representasi bilangan 1/6 = 0.1666666666… di dalam komputer 6-digit tersebut adalah 0.166667.
Kebanyakan komputer digital mempunyai dua buah cara penyajian bilangan riil, yaitu bilangan titik-tetap (fixed point) dan bilangan titik-kambang (floating point). Dalam format bilangan titik-tetap setiap bilangan disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap, misalnya 62.358, 0.013, 1.000. sedangkan dalm format bilangan titik-kambang setiap bilangan disajikan dengan jumlah digit berarti yang sudah tetap, misalnya
0.6238 x 103 0.1714 x 10-13
Atau ditulis juga
0.6238E+03 0.1714E-13
Digit berarti di dalam format bilangan titik-kambang disebut juga angka bena (significant figure).
Contohnya:
43.123 memiliki 5 angka bena (yaitu 4,3,1,2,3)
0.0000012 memiliki 2 angka bena (yaitu 1,2)
270.0090 memiliki 7 angka bena (yaitu 2,7,0,0,0,9,0)
2.3.3. Galat Total
Galat akhir atau galat total atau pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Misalnya menggunakan deret Maclaurin orde-4 untuk menghampiri cos(0.2) sebagai berikut:
Cos(0.2) ≈ 1 – 0.22/2 + 0.24/24 ≈ 0.9800667
Galat Galat
Pemotongan Pembulatan
2.4 Orde Penghampiran
Di dalam metode numerik, fungsi f(x) sering diganti dengan fungsi hampiran yang lebih sederhana. Satu cara mengungkapkan ketelitian penghampiran ini adalah dengan menggunakan notasi O-Besar (Big-Oh).
Contoh:
eh = 1 + h + h2/2! + h3/3! + h4/4! + O(h5)
ln(x+1) = x – x2/2 + x3/3 – x4/4 + x5/4 + O(h5)
Sin(h) = h – h3/3! + h5/5! + O(h7) (bukan O(h6), karena suku orde 6 = 0)
Cos(h)=1–h2/4!+h4/6!–h6/6!+O(h8) (bukan O(h7), karena suku orde 7=0)
2.5 Bilangan Titik-Kambang
Bilangan riil di dalam computer umumnya disajikan dalam format bilangan titik-kambang. Bilangan titik-kambang ditulis sebagai
a = ± m x Bp = ± 0.d1d2d3d4d5d6 …dn x Bp
yang dalam hal ini,
m = mantisa (riil). d1d2d3d4d5d6 …dn adalah digit atau bit mantisa yang
nilainya dari 0 sampai B – 1, n adalah panjang digit (bit) mantisa.
B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dan sebagainya)
P = pangkat (berupa bilangan bulat), nilainya dari –pmin sampai +pmaks
Sebagai contoh, bilangan riil 245.7654 dinyatakan sebagai 0.2457654 x 103 dalam format bilangan titik kambang dengan basis 10.
2.5.1 Bilangan Titik-Kambang Ternormalisasi
Bilangan titik-kambang juga dapat dituliskan sebagai
a = ± (mb) x
Misalnya, 245.7654 dapat ditulis sebagai
0.2457654 X atau
2.457654 X atau
0.02457654 X , dan sebagainya
Agar bilangan titik-kambang dapat disajikan secara seragam, kebanyakan sistem komputer menormalisasikan formatnya sehingga semua digit mantisa selalu angka bena. Karena alasan itu, maka digit pertama mantisa tidak boleh nol.
2.5.2 Epsilon Mesin
Satu ukuran yang penting dalam aritmetika komputer adalah seberapa kecil perbedaan antara dua buah nilai yang dapat dikenali oleh komputer. Ukuran yang digunakan untuk membedakan suatu bilangan riil dengan bilangan riil berikutnya adalah epsilon mesin. Epsilon mesin distandarisasi dengan menemukan bilangan titik-kambang terkecil yang bila ditambahkan dengan 1 memberikan hasil yang lebih besar dari 1. Dengan kata lain, jika epsilon mesin dilambangkan dengan maka
1+
(bilangan yang lebih kecil dari epsilon mesin didefinisikan sebagai nol dalam komputer).
2.5.3 Pembulatan pada Bilangan Titik-Kambang
Ada dua teknik pembulatan yang lazim dipakai oleh komputer, yaitu pemenggalan(chopping ) dan pembulatan ke digit terdekat
(in-rounding).
- 1. Pemenggalan (chopping )
Misalkan adalah bilangan titik-kambang dalam basis 10:
= . x
misalkan adalah banyak digit mantis komputer. Karena digit mantis lebih banyak dari digit mantis komputer, maka bilangan dipotong sampai digit saja:
misalkan adalah banyak digit mantis komputer. Karena digit mantis lebih banyak dari digit mantis komputer, maka bilangan dipotong sampai digit saja:
( ) = x
- 2. Pembulatan ke digit terdekat ( in-rounding )
Misalkan adalah bilangan titik-kambang dalam basis 10:
= . x
Misalkan adalah jumlah digit mantis komputer. Karena digit mantis lebih banyak dari digit mantis komputer, maka bilangan dibulatkan sampai digit.
Contohnya, bilangan x di dalam komputer hipotesis dengan 7 digit mantis dibulatkan menjadi fl =0.3141593 x dengan galat sebesar 0.00000035…. contoh ini memperlihatkan bahwa pembulatan ke digit terdekat menghasilkan galat yang lebih rendah daripada pemenggalan.
2.5.4 Aritmetika Bilangan Titik-Kambang
Operasi aritmetika pada bilangan titik-kambang meliputi operasi penambahan dan pengurangan, operasi perkalian, dan operasi pembagian.
2.5.4.1 Operasi penambahan dan Pengurangan
Terdapat dua buah kasus serius yang menyebabkan timbulnya galat pembulatan pada operasi penjumlahan dua buah bilangan titik-kambang:
Kasus 1 : Penjumlahan (termasuk pengurangan) bilangan yang sangat kecil ke (atau dari) bilangan yang lebih besar menyebabkan timbulnya galat pembulatan.
Galat pembulatan pada kasus 1 ini terjadi karena untuk menjumlahkan dua buah bilangan yang berbeda relatif besar, pangkatnya harus disamakan terlebih dahulu (disamakan dengan pangkat bilangan yang lebih besar).
2.5.4.2 Operasi Perkalian dan Pembagian
Operasi perkalian dan pembagian dua buah bilangan titik-kambang tidak memerlukan penyamaan pangkat seperti halnya pada penjumlahan perkalian dapat dilakukan dengan mengalikan kedua mantis dan menambahkan kedua pangkatnya. Pembagian dikerjakan dengan membagi mantis dan mengurangkan pangkatnya.
2.6 Perambatan Galat
Galat yang dikandung dalam bilangan titik-kambang merambat pada hasil komputasi. Misalkan terdapat dua bilangan dan (nilai sejati) dan nilai hampirannya masing-masing dan , yang mengandung galat masing-masing dan jadi, kita dapat menulis
=
Dan
Berikut adalah bagaimana galat merambat pada hasil penjumlahan dan perkalian dan .
Untuk penjumlahan,
Jadi, galat hasil penjumlahan sama dengan jumlah galat masing-masing operand.
Untuk perkalian,
Yang bila kita susun menjadi
Dengan mengandaikan bahwa dan , maka galat relatifnya adalah
2.7 Kondisi Buruk
Suatu persoalan dikatakan berkondisi buruk (ill conditioned ) bila jawabannya sangat peka terhadap perubahan kecil data (misalnya perubahan kecil akibat pembulatan). Bila kita mengubah sedikit data , maka jawabannya berubah sangat besar (drastis ). Lawan dari berkondisi buruk adalah berkondisi baik (well conditioned ). Suatu persoalan dikatakan baik bila perubahan kecil data hanya mengakibatkan perubahan kecil pada jawabannya.
Sebagai contoh, tinjau persoalan menghitung akar persamaan kuadrat di bawah ini. Disini kita hanya mengubah nilai-nilai tetapan c-nya saja:
(i) akar-akarnya dan
Sekarang, ubah 3.99 menjadi 4.00:
(ii) akar-akarnya
Ubah 4.00 menjadi 4.001:
(iii) akar-akarnya imajiner
Dapat dikatakan bahwa persoalan akar-akar persamaan kuadrat diatas berkondisi buruk, karena dengan pengubahan sedikit saja data masukannya (dalam hal ini nilai koefisien c ), ternyata nilai akar-akarnya berubah sangat besar.
2.8 Bilangan Kondisi
Kondisi komputasi numerik dapat diukur dengan bilangan kondisi. Bilangan kondisi merupakan ukuran tingkat sejauh mana ketidakpastian dalam diperbesar oleh Bilangan kondisi dapat dihitung dengan bantuan Deret taylor. Fungsi diuraikan di sekitar sampai suku orde pertama:
Galat relatif hampiran dari adalah
Dan galat relatif hampiran dari adalah
Bilangan kondisi didefinisikan sebagai nisbah (ratio) antara galat relatif hampiran dan
Bilangan kondisi
Arti dari bilangan kondisi adalah:
- Bilangan kondisi = 1 berarti galat relatif hampiran fungsi sama dengan galat relatif
- Bilangan kondisi lebih besar dari 1 berarti galat relatif hampiran fungsi besar
- Bilangan kondisi lebih kecil dari 1 berarti galat relatif hampiran fungsi kecil (kondisi baik)
Suatu komputasi dikatakan berkondisi buruk jika bilangan kondisinya sangat besar, sebaliknya berkondisi baik bila bilangan kondisinya sangat kecil.
BAB III
KESIMPULAN
Kebanyakan dari metode-metode numerik yang diturunkan didasarkan pada penghampiran fungsi kedalam bentuk polinom. Fungsi yang bentuknya kompleks menjadi lebih sederhana bila dihampiri dengan polinom. Galat pada solusi numerik harus di hubungkan dengan seberapa teliti polinom menghampiri fungsi sebenarnya. Dan kakas yang digunakan untuk membuat polinom hampiran adalah deret taylor.
COMMENTS